محتوای آموزشی
درس دوم: متمم یک مجموعه
در این درس، مفهوم متمم از پایه ساخته میشود: ابتدا مشخص میکنیم «بیرون یک مجموعه» دقیقاً نسبت به کدام مجموعه مرجع معنا دارد، سپس قوانین متمم و دمورگان را روی نمودار ون میبینیم و در ادامه به فرمول شمارش اجتماع دو مجموعه میرسیم. همه فعالیتها، کاردرکلاسها و تمرینهای کتاب نیز با پاسخ تشریحی و استدلال کامل حل شدهاند.
ساختار درس را قبل از ورود به جزئیات ببینیم
تقریباً تمام سؤالهای این درس به پنج ایده اصلی برمیگردند.
مجموعه مرجع
متمم بدون مشخص بودن U معنای کامل ندارد.
متمم
A′ = U − A؛ یعنی عضوهای مرجع که در A نیستند.
قوانین متمم
متمم دوباره، متمم اجتماع و اشتراک و ارتباط با تفاضل.
زیرمجموعه و متمم
با گرفتن متمم، جهت رابطه زیرمجموعه برعکس میشود.
شمارش اجتماع
n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)
ترجمه مسئله
«حداقل یکی»، «فقط یکی»، «هیچکدام» و «هر دو» به زبان مجموعهها.
روش کلاس
در هر مثال، ابتدا مجموعه مرجع مشخص میشود. بعد ناحیه موردنظر روی نمودار یا محور تصور میشود و در آخر نمادگذاری انجام میگیرد. این ترتیب باعث میشود قوانین به جای حفظ شدن، قابل استدلال باشند.
مجموعه مرجع و متمم؛ «بیرون A» نسبت به کجا؟
مهمترین نکته درس این است که متمم همیشه وابسته به مجموعه مرجع است.
تعریف مجموعه مرجع
در هر مبحث، مجموعهای که همه مجموعههای مورد بحث زیرمجموعه آن باشند، مجموعه مرجع نامیده میشود و با U نشان داده میشود.
متمم A شامل تمام عضوهایی از U است که عضو A نیستند.
دام مهم
عبارت «همه چیزهایی که در A نیستند» ناقص است. باید گفته شود «همه عضوهای U که در A نیستند». تغییر U میتواند متمم را کاملاً تغییر دهد.
فعالیت صفحه ۸ کتاب - متمم روی اعداد صحیح و حقیقی
الف) دو مجموعه زیر را در نظر بگیرید و اعضای هر یک را روی محور نشان دهید:
A={x∈Z | −3<x≤2} و B={x∈R | −3<x≤2}.
ب) A را با نمایش اعضا و B را به صورت یک بازه بنویسید.
پ) در مورد A، اگر مجموعه مرجع را Z در نظر بگیریم، A′ را مشخص کنید.
ت) در مورد B، با فرض اینکه R مجموعه مرجع باشد، B′ را مشخص کنید و روی محور نمایش دهید.
پاسخ تشریحی
چون A فقط عددهای صحیح بین −۳ و ۲ را میخواهد:
اما B همه عددهای حقیقی همان محدوده را شامل میشود:
در مرجع Z، همه صحیحهای غیرعضو A در متمم هستند:
در مرجع R، بیرون بازه (−3,2] دو قسمت میشود. عدد −۳ در B نبود، پس در متمم هست؛ عدد ۲ در B بود، پس در متمم نیست:
نکته آزمونی
در سؤالهای متمم بازه، بسته یا باز شدن سرِ بازه برعکس میشود. اگر کران عضو مجموعه اصلی باشد، عضو متمم نیست و برعکس. فقط درباره ±∞ همیشه پرانتز بهکار میرود.
چهار قانون پایه متمم که باید از معنا فهمیده شوند
این روابط از تعریف متمم نتیجه میشوند؛ حفظ کردن بدون تصویر لازم نیست.
متمم تهی
چون هیچ عضوی در ∅ نیست، همه U بیرون آن است.
متمم مرجع
بیرون U، در چارچوب خود U، هیچ عضوی نداریم.
اجتماع با متمم
هر عضو U یا در A است یا بیرون A.
اشتراک با متمم
هیچ عضو نمیتواند همزمان در A و بیرون A باشد.
متممِ متمم
یک بار بیرون A را میگیریم؛ بار دوم بیرونِ بیرون A، دوباره خود A باقی میماند.
کار در کلاس صفحه ۹ - سؤالهای ۱ تا ۵
پاسخ ۱
متممِ «غیرساحلی» یعنی استانهای ساحلی:
پاسخ ۲
مجموعه اتومبیلهای پلاکگذاریشده با پلاک زوج.
ستون اول: {1,3,5,7,9,...}، {3,6,9,12,...}، {1,2,3,...,9}، {2,3,5,7,11,13,...}.
ستون دوم: {1,4,6,8,9,10,12,14,...}، {2,4,6,8,10,...}، {1,2,4,5,7,8,...}، {10,11,12,13,14,...}.
پاسخ ۳
| مجموعه | متمم در N |
|---|---|
| {1,3,5,7,9,...} | {2,4,6,8,10,...} |
| {3,6,9,12,...} | {1,2,4,5,7,8,...} |
| {1,2,3,...,9} | {10,11,12,13,14,...} |
| {2,3,5,7,11,13,...} | {1,4,6,8,9,10,12,14,...} |
پاسخ ۴
پاسخ ۵
با تعریف کتاب N={1,2,3,...}:
در مرجع R، همه اعداد حقیقی به جز ۱، ۲، ۳، ... در متمماند؛ بنابراین فشردهترین نمایش:
قوانین دمورگان و رابطه تفاضل؛ ترجمه «نه» در زبان مجموعهها
در این قسمت سه رابطه مهم از جدول فعالیت کتاب استخراج میشوند.
متممِ اجتماع
«نه در A و نه در B»؛ یعنی هم بیرون A و هم بیرون B.
متممِ اشتراک
برای اینکه عضو «همزمان در هر دو» نباشد، کافی است بیرون حداقل یکی باشد.
تفاضل را به اشتراک تبدیل کنید
عضوهای A که در B نیستند، دقیقاً عضوهای A هستند که همزمان در متمم B قرار دارند.
کار در کلاس صفحه ۹ - سؤال ۶؛ استخراج سه رابطه از جدول
پاسخ کامل
متمم دوباره: (A′)′={1,2,3}=A
| عبارت اول | نتیجه | عبارت دوم | نتیجه کلی |
|---|---|---|---|
| A∪B={1,2,3,4} | (A∪B)′={5} | A′∩B′={5} | (A∪B)′=A′∩B′ |
| A∩B={2} | (A∩B)′={1,3,4,5} | A′∪B′={1,3,4,5} | (A∩B)′=A′∪B′ |
| A−B={1,3} | A−(A∩B)={1,3} | A∩B′={1,3} | A−B=A−(A∩B)=A∩B′ |
راه تشخیص سریع دمورگان
وقتی علامت متمم از روی پرانتز عبور میکند، اجتماع و اشتراک جای هم را میگیرند و هر مجموعه متمم میشود: ∪ ↔ ∩.
وقتی متمم میگیریم، جهت زیرمجموعه برعکس میشود
این نتیجه هم از شکل و هم از مثال عددی کتاب دیده میشود.
اگر A داخل B باشد، B بزرگتر است. بنابراین «بیرون B» ناحیه کوچکتری از «بیرون A» خواهد بود. پس رابطه زیرمجموعه وارونه میشود.
کار در کلاس صفحه ۱۰ - سؤال ۷
پاسخ الف
بله. چون هر چیزی که بیرون B باشد حتماً بیرون A هم هست:
پاسخ ب
تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه؛ چرا اشتراک را کم میکنیم؟
این فرمول، پایه مسائل ون و بسیاری از سؤالهای شمارشی است.
فرمول اصلی
وقتی n(A)+n(B) را جمع میکنیم، عضوهای اشتراک دو بار شمرده میشوند؛ پس یک بار n(A∩B) را کم میکنیم.
دو مجموعه مجزا
اگر A∩B=∅ باشد:
دو مجموعه دارای اشتراک
اگر عضو مشترک داشته باشند:
فعالیت صفحه ۱۰ - تیم کوهنوردی و مجموعههای مجزا
الف) اعضای A∪B و جدول تعدادها را کامل کنید. ب) تعداد عضوهای اجتماع چه رابطهای با تعداد A و B دارد؟ پ) این فرمول تحت چه شرایطی برای دو مجموعه دلخواه برقرار است؟
پاسخ
پس در این مثال n(A∪B)=n(A)+n(B). این رابطه بدون کم کردن اشتراک فقط زمانی برقرار است که دو مجموعه مجزا باشند؛ یعنی A∩B=∅.
فعالیت صفحه ۱۱ - شمارندههای ۲۸ و ۳۰ و کشف فرمول عمومی
الف) A و B را بنویسید؛ سپس A∩B و A∪B و تعداد اعضای هر یک را به دست آورید.
ب) جدول n(A)، n(B)، n(A∩B) و n(A∪B) را کامل کنید.
پ) چرا رابطهای که در فعالیت قبل برای دو مجموعه مجزا به دست آمد، یعنی n(A∪B)=n(A)+n(B)، در این مثال برقرار نیست؟
ت) با تکمیل نمودار ون، رابطه درست برای n(A∪B) را حدس بزنید.
پاسخ کامل
اگر فقط ۶ و ۸ را جمع کنیم، عضوهای ۱ و ۲ دوبار شمرده میشوند. بنابراین باید دو عضو مشترک را یک بار کم کنیم:
آزمایشگاه تعاملی شمارش ون
۸۰۴۰۲۰۲۰۶۰از متن فارسی به نمودار ون؛ «یا»، «هر دو»، «هیچکدام»
دو کاردرکلاس کتاب دقیقاً برای تمرین همین ترجمه طراحی شدهاند.
| عبارت فارسی | زبان مجموعهها | فرمول تعداد |
|---|---|---|
| حداقل عضو یکی از دو مجموعه | A∪B | n(A∪B) |
| عضو هر دو | A∩B | n(A∩B) |
| فقط A | A−B=A∩B′ | n(A)−n(A∩B) |
| فقط B | B−A | n(B)−n(A∩B) |
| دقیقاً یکی | فقط A یا فقط B | n(A)+n(B)−2n(A∩B) |
| هیچکدام | (A∪B)′ | n(U)−n(A∪B) |
کار در کلاس صفحه ۱۱ - جشنواره فیلم
روش اول؛ فرمول
پس پاسخ الف ۱۲ فیلم و پاسخ ب ۹ فیلم است.
روش دوم؛ چهار ناحیه نمودار ون
پویانماییِ فقط: 7−3=4، اشتراک: ۳، طنزِ فقط: 8−3=5 و بیرون دو مجموعه: 21−(4+3+5)=9.
کار در کلاس صفحه ۱۲ - فوتبال و بسکتبال
روش اول؛ نمودار ون
اگر تعداد اشتراک را x بگیریم، فوتبالِ فقط 15−x و بسکتبالِ فقط 11−x است. با ۵ نفر بیرون دو مجموعه:
روش دوم؛ فرمول اجتماع
چون ۵ نفر عضو هیچکدام نیستند، تعداد اجتماع 25−5=20 است:
تمرینهای ۱ و ۲ صفحه ۱۲؛ متمم روی محور و متناهی/نامتناهی
هر سؤال با صورت کامل و پاسخ آمده است.
تمرین ۱ صفحه ۱۲ - متمم چهار مجموعه در R
الف) A=[−2,3)
ب) B={0,1,2,3,4,...}
پ) C=(0,+∞)
ت) D=(−∞,1]
پاسخ
تمرین ۲ صفحه ۱۲ - متناهی یا نامتناهی بودن متمم در N
الف) مجموعهای نامتناهی مثل A مثال بزنید که A′ هم نامتناهی باشد.
ب) مجموعهای نامتناهی مثل B مثال بزنید که B′ متناهی باشد.
پ) مجموعهای متناهی مثل C مثال بزنید و C′ را به دست آورید. C′ متناهی است یا نامتناهی؟
پاسخهای نمونه
الف) A={2,4,6,8,...}؛ آنگاه A′={1,3,5,7,...}. هر دو نامتناهیاند.
ب) B={3,4,5,6,...}؛ آنگاه B′={1,2} متناهی است.
پ) مثلاً C={1,2,3}؛ آنگاه C′={4,5,6,...} و نامتناهی است.
تمرینهای ۳ تا ۶ صفحه ۱۳؛ شمارش حرفهای با نمودار ون
در این چهار سؤال، تمام زبان این درس در قالب محاسبه و مسئله کاربردی جمع میشود.
تمرین ۳ - محاسبه n(B)
پاسخ
تمرین ۴ - چهار ناحیه مهم نمودار ون
الف) n(A∪B) ب) n(A∩B′) پ) n(A′∩B) ت) n(A′∩B′).
پاسخ
الف) 60+40−20=80
ب) فقط A: 60−20=40
پ) فقط B: 40−20=20
ت) بیرون هر دو: 100−80=20
تمرین ۵ - گروه سرود و تئاتر
پاسخ
الف) فقط سرود: 14−5=9 نفر.
ابتدا اجتماع: 14+19−5=28. پس ب) هیچکدام: 31−28=3 نفر.
تمرین ۶ - نظرسنجی مشتریان فروشگاه
پاسخ کامل
الف) دستکم یکی: 70+57−32=95 نفر.
ب) فقط A: 70−32=38 نفر.
پ) دقیقاً یکی: فقط B برابر 57−32=25 است، پس 38+25=63 نفر.
ت) هیچکدام: 110−95=15 نفر.
الگوریتم حل سریع سؤالهای متمم و نمودار ون
این بخش توضیح تکمیلی 20درس است و متن مستقیم کتاب نیست.
اگر سؤال متمم بود
اگر سؤال تعداد بود
دام ۱: «یا» در ریاضی
در مسائل مجموعهها، «A یا B» معمولاً یعنی اجتماع و عضوهای هر دو را هم شامل میشود؛ مگر اینکه عبارت «دقیقاً یکی» یا «فقط یکی» آمده باشد.
دام ۲: فراموش کردن اشتراک
n(A)+n(B) فقط وقتی مستقیماً تعداد اجتماع است که دو مجموعه مجزا باشند. در حالت عمومی باید اشتراک یک بار کم شود.
دام ۳: «هیچکدام»
ابتدا اجتماع را پیدا کنید؛ سپس از کل کم کنید: n((A∪B)′)=n(U)−n(A∪B).
دام ۴: «دقیقاً یکی»
اشتراک نباید شمرده شود. فرمول سریع: n(A)+n(B)−2n(A∩B).
برگه مرور ۲ دقیقهای
این شش خط باید هسته درس را در ذهن بازسازی کنند.
چکلیست تسلط کلاس
سؤالهای پرتکرار مفهومی
آیا متمم A همیشه یک مجموعه ثابت است؟
خیر. متمم به U وابسته است. یک A ثابت در مرجع Z و R میتواند دو متمم متفاوت داشته باشد.
چرا در فرمول اجتماع، اشتراک را کم میکنیم؟
چون عضوهای مشترک هنگام جمع n(A) و n(B) دو بار شمرده شدهاند و باید یک بار از جمع حذف شوند.
فرق «حداقل یکی» و «دقیقاً یکی» چیست؟
حداقل یکی شامل اشتراک هم هست؛ دقیقاً یکی اشتراک را کنار میگذارد و فقط دو ناحیه غیرمشترک را میشمارد.
برای متمم یک بازه از کجا بفهمیم کران بسته یا باز شود؟
عضویت کران را بررسی کنید. کرانی که در مجموعه اصلی هست در متمم نیست و کرانی که در مجموعه اصلی نیست، اگر عدد حقیقی باشد، در متمم هست.