پاسخ تشریحی

الف) R − Q = Q′، یعنی مجموعه اعداد گنگ. دو نمونه: √2 و π.

ب) مثلاً 1/2 و −3/4. هر دو گویا هستند اما صحیح نیستند.

پ)

• √17: گنگ Q′
• 0: حسابی W (و در نتیجه Z,Q,R)
• 200: طبیعی N
• π/2: گنگ؛ تقسیم π بر عدد گویای ناصفر همچنان گنگ است.
• 2/6 = 1/3: گویا Q و غیرصحیح
• 2√5: گنگ
• −25/3: گویا و غیرصحیح
• −9: صحیح Z

ت) Z − W = {...,−3,−2,−1}؛ یعنی همه اعداد صحیح منفی.

ث) چون W = {0,1,2,...} و N = {1,2,3,...}، داریم W − N = {0}. پس دقیقاً ۱ عضو دارد.

پاسخ جدول

پاسخ

• −4.9 نزدیک −5 و بین −5 و −4.
• −7/2 = −3.5 دقیقاً وسط −4 و −3.
• −√2 ≈ −1.414 بین −2 و −1.
• 2.45 بین 2 و 3.
• π≈3.14 کمی بعد از 3.
• 6 دقیقاً روی 6.

اعداد گنگ: π و −√2. چهار عدد دیگر گویا هستند.

پاسخ کامل

پاسخ با دلیل

پاسخ

• −2 → فقط [−2,0). در (−2,3) نیست چون −2 حذف شده است.
• √3≈1.732 → [1,4] و (−2,3).
• −500 → (−∞,−4).
• −5/4=−1.25 → [−2,0) و (−2,3).
• 6.022×10²³ → [3,+∞).
• 0.2 → (−1/2,1/2] و (−2,3).

پاسخ

چرا در A−B عدد −1 باقی می‌ماند؟ چون B در −1 باز است و −1 عضو B نیست؛ اما −1 عضو A است. چرا در B−A عدد 2 حذف می‌شود؟ چون 2 عضو A است.

پاسخ

A={1,2,3} و بنابراین n(A)=3؛ پس A متناهی است.

B={...,−3,−2,−1,0,1,2,3}. چون در سمت اعداد منفی پایان ندارد، B نامتناهی است.

پاسخ کامل

پاسخ‌های نمونه

۲) {1,2,3} و مجموعه روزهای هفته.

۳) N⊆W؛ هر دو نامتناهی‌اند.

۴) بگذارید B=N و A=N−{1}={2,3,4,...}. هر دو نامتناهی‌اند، A⊆B و B−A={1} تک‌عضوی است.

پاسخ

الف) مثلاً 1/2, 1/4, 2/3, 3/4.

ب) بله؛ هر تعداد بخواهیم می‌توانیم عدد گویای جدید پیدا کنیم.

پ) مجموعه اعداد گویای داخل (0,1) نامتناهی است.

ت) خود Q نامتناهی است.

ث) اگر A زیرمجموعه‌ای نامتناهی داشته باشد، خود A حتماً نامتناهی است؛ چون یک مجموعه متناهی نمی‌تواند زیرمجموعه نامتناهی داشته باشد.

پاسخ

الف) U={5,10,15,20,...}.

ب) نامتناهی.

پ) مثلاً {5,10,15}.

ت) مثلاً D=U و C={10,20,30,...}. در این صورت C مجموعه مضرب‌های طبیعی ۱۰ است و C⊆D.

پاسخ

الف) N نامتناهی است.

ب) متناهی؛ شمارنده‌های طبیعی ۳۶ عبارت‌اند از {1,2,3,4,6,9,12,18,36}، یعنی ۹ عضو.

پ) نامتناهی؛ هر بازه غیرتهی از اعداد حقیقی بی‌نهایت عضو دارد.

ت) هیچ عدد طبیعی‌ای به‌طور سخت بین 1 و 2 نیست، پس A=∅ و متناهی با ۰ عضو است.

ث) {100,200,300,...} نامتناهی است.

پاسخ نمونه

مجموعه اعداد طبیعی زوج و مجموعه اعداد طبیعی فرد هر دو نامتناهی‌اند و اشتراکشان تهی است: E∩O=∅. مجموعه تهی متناهی است.

پاسخ

پاسخ

همه اعداد حقیقی به‌جز 3؛ بنابراین در نقطه 3 یک سوراخ داریم:

پاسخ

A حتماً متناهی است. چون اعضای A از داخل B انتخاب شده‌اند و B فقط تعداد محدودی عضو دارد؛ زیرمجموعه‌ی یک مجموعه متناهی نمی‌تواند اعضای بیشتری از آن داشته باشد.

پاسخ تشریحی

چون A فقط عددهای صحیح بین −۳ و ۲ را می‌خواهد:

اما B همه عددهای حقیقی همان محدوده را شامل می‌شود:

در مرجع Z، همه صحیح‌های غیرعضو A در متمم هستند:

در مرجع R، بیرون بازه (−3,2] دو قسمت می‌شود. عدد −۳ در B نبود، پس در متمم هست؛ عدد ۲ در B بود، پس در متمم نیست:

پاسخ ۱

متممِ «غیرساحلی» یعنی استان‌های ساحلی:

پاسخ ۲

مجموعه اتومبیل‌های پلاک‌گذاری‌شده با پلاک زوج.

پاسخ ۳

پاسخ ۴

پاسخ ۵

با تعریف کتاب N={1,2,3,...}:

در مرجع R، همه اعداد حقیقی به جز ۱، ۲، ۳، ... در متمم‌اند؛ بنابراین فشرده‌ترین نمایش:

روی محور حقیقی، کل محور رنگ می‌شود و روی هر عدد طبیعی مثبت یک دایره توخالی قرار می‌گیرد.

پاسخ کامل

متمم دوباره: (A′)′={1,2,3}=A

پاسخ الف

بله. چون هر چیزی که بیرون B باشد حتماً بیرون A هم هست:

پاسخ ب

پاسخ

پس در این مثال n(A∪B)=n(A)+n(B). این رابطه بدون کم کردن اشتراک فقط زمانی برقرار است که دو مجموعه مجزا باشند؛ یعنی A∩B=∅.

پاسخ کامل

اگر فقط ۶ و ۸ را جمع کنیم، عضوهای ۱ و ۲ دوبار شمرده می‌شوند. بنابراین باید دو عضو مشترک را یک بار کم کنیم:

روش اول؛ فرمول

پس پاسخ الف ۱۲ فیلم و پاسخ ب ۹ فیلم است.

روش دوم؛ چهار ناحیه نمودار ون

پویانماییِ فقط: 7−3=4، اشتراک: ۳، طنزِ فقط: 8−3=5 و بیرون دو مجموعه: 21−(4+3+5)=9.

روش اول؛ نمودار ون

اگر تعداد اشتراک را x بگیریم، فوتبالِ فقط 15−x و بسکتبالِ فقط 11−x است. با ۵ نفر بیرون دو مجموعه:

روش دوم؛ فرمول اجتماع

چون ۵ نفر عضو هیچ‌کدام نیستند، تعداد اجتماع 25−5=20 است:

پاسخ

در مورد B، متمم یک یا دو بازه ساده نیست؛ کل محور حقیقی به جز نقاط ۰،۱،۲،۳،... است.

پاسخ‌های نمونه

الف) A={2,4,6,8,...}؛ آنگاه A′={1,3,5,7,...}. هر دو نامتناهی‌اند.

ب) B={3,4,5,6,...}؛ آنگاه B′={1,2} متناهی است.

پ) مثلاً C={1,2,3}؛ آنگاه C′={4,5,6,...} و نامتناهی است.

پاسخ

پاسخ

الف) 60+40−20=80

ب) فقط A: 60−20=40

پ) فقط B: 40−20=20

ت) بیرون هر دو: 100−80=20

پاسخ

الف) فقط سرود: 14−5=9 نفر.

ابتدا اجتماع: 14+19−5=28. پس ب) هیچ‌کدام: 31−28=3 نفر.

پاسخ کامل

الف) دست‌کم یکی: 70+57−32=95 نفر.

ب) فقط A: 70−32=38 نفر.

پ) دقیقاً یکی: فقط B برابر 57−32=25 است، پس 38+25=63 نفر.

ت) هیچ‌کدام: 110−95=15 نفر.

پاسخ تشریحی

الف) a₄ تعداد چوب‌کبریت‌های شکل چهارم است. چون هر مرحله ۳ چوب‌کبریت اضافه می‌شود، a₄=14.

ب) aₙ تعداد چوب‌کبریت‌های شکل شماره n است.

پ) بله. در فعالیت صفحه بعد دو روش هندسی به یک رابطه واحد می‌رسند:

پاسخ ۱

پاسخ ۲

n چوب افقی و 2(n+1) چوب عمودی داریم:

پاسخ ۳؛ یک روش نمونه

می‌توان از شکل اول شروع کرد. شکل اول ۵ چوب دارد و برای رسیدن از شکل اول به شکل nام، n−1 بار سه چوب اضافه می‌شود:

پاسخ ۴

پاسخ ۵

پاسخ ۶

پس شکل بیست‌وپنجم ۷۷ چوب‌کبریت دارد.

پاسخ تشریحی

فرض می‌کنیم Cₙ=an+b. بنابراین:

با کم کردن دو معادله:

کنترل: C₄=17 و C₁₀=41، پس رابطه درست است.

پاسخ ۱

دنباله تعداد مربع‌های رنگی:

پس شکل چهارم ۱۶ و شکل پنجم ۲۰ مربع رنگی دارد.

پاسخ ۲

چون اختلاف هر دو جمله پیاپی همواره ۴ است.

پاسخ ۳

اختلاف ثابت ۴ است، پس a=4. از b₁=4 داریم 4=4(1)+h، پس h=0.

پاسخ ۴

پاسخ ۵

پس شکل سی‌وششم.

پاسخ ۱

با ادامه الگو، شکل چهارم ۳۲ و شکل پنجم ۴۵ نقطه دارد:

پاسخ ۲

خیر؛ اختلاف‌های پیاپی ۷، ۹، ۱۱، ۱۳، ... ثابت نیستند.

پاسخ ۳

مثلاً t₃=3²+4(3)=21.

پاسخ ۴

پاسخ ۵

یک پاسخ نمونه

می‌توان شکل را به یک مستطیل n×(n+4) بازآرایی کرد؛ تعداد نقاط چنین مستطیلی مستقیم برابر n(n+4)=n²+4n است.

پاسخ نمونه

پاسخ یکتا نیست؛ هر آرایش مرتب عددها یک دنباله است.

پاسخ الف

a₃=9−1=8، پس:

پاسخ ب

جمله پنجم b₅=−1 است.

پاسخ ج

پاسخ کامل

الف)

ب) خطی نیست؛ اختلاف‌ها ۲، ۳، ۴، ۵، ... ثابت نیستند.

پ) اگر دو نسخه از شکل nام کنار هم قرار گیرند، یک مستطیل با n ردیف و n+1 ستون ساخته می‌شود:

ت) چون aₙ=1+2+...+n:

پاسخ

الف) شکل چهارم ۱۲ کاشی تیره دارد.

ب)

پ) اختلاف ثابت ۲ است و برای n=1 مقدار ۶ داریم:

ت) t₁₀₀=2(100)+4=204.

ث) 2n+4=50 ⇒ n=23. بله، آن شکل ۲۳ کاشی سفید دارد.

پاسخ

در شکل nام یک مربع n² نقطه‌ای در مرکز داریم و در دو طرف روی‌هم n(n−1) نقطه اضافه می‌شود:

الف)

پ)

پاسخ عددی

برای قسمت هندسی پاسخ یکتا نیست؛ هر آرایش شکل که دقیقاً همان تعداد را بسازد، معتبر است.

الف)

اختلاف‌ها ۳،۵،۷،۹،... هستند. دنباله n² اختلاف‌های فرد متوالی دارد و با افزودن ۴ به هر جمله دقیقاً اعداد سؤال ساخته می‌شوند:

مدل هندسی: مربع n×n به همراه ۴ نقطه ثابت در چهار گوشه بیرونی.

ب)

اختلاف‌ها ۷،۱۰،۱۳،۱۶،... و اختلاف دوم ۳ است. با قرار دادن bₙ=An²+Bn+C، از اختلاف دوم 2A=3 و در نتیجه A=3/2 به‌دست می‌آید. با جمله‌های اول و دوم:

یک تجزیه هندسی مناسب:

بنابراین می‌توان سه الگوی مثلثی nام را کنار یک ردیف n+1 نقطه‌ای قرار داد.

پاسخ تشریحی

الف) t₁=2000 و چون هر بار ۴ سال اضافه می‌شود، d=4.

ب) برای رسیدن از جمله اول به جمله نهم، ۸ بار ۴ واحد اضافه می‌شود:

پ) جمله nام، n−1 گام از جمله اول فاصله دارد:

ت)

پاسخ

علت وجود n−1 این است که از جمله اول تا جمله nام دقیقاً n−1 فاصله یا گام وجود دارد.

روش مستقیم با فرمول دنباله حسابی

t₁=4 و d=7.

روش الگوی خطی

چون اختلاف ثابت ۷ است، می‌توان tₙ=7n+b نوشت. از t₁=4 داریم 7+b=4⇒b=−3، پس:

دو روش یک مفهوم را با دو زبان بیان می‌کنند.

پاسخ کامل

الف) روابط هزینه

ب) جدول کامل

پ) تشخیص دنباله

بله. با افزایش n از یک عدد طبیعی به عدد طبیعی بعدی، هزینه A هر بار ۳۰ تومان و هزینه B هر بار ۲۰ تومان زیاد می‌شود. پس قدر نسبت‌ها به‌ترتیب 30 و 20 هستند.

ت) انتخاب مناسب

برای ۶۰ دقیقه: A برابر ۳۸۰۰ و B برابر ۴۲۰۰ تومان است؛ پس A بهتر است. برای ۱۵۰ دقیقه: A برابر ۶۵۰۰ و B برابر ۶۰۰۰ تومان است؛ پس B بهتر است.

پاسخ‌های نمونه

جواب‌ها یکتا نیستند.

الف) 4,6,8,10,12,… با d=2.

ب) 16,14,12,10,8,… با d=−2.

پ) 5,3,1,−1,−3,… با d=−2. دقیقاً سه جمله اول مثبت‌اند و از جمله چهارم به بعد همه منفی‌اند.

پاسخ الف

پاسخ ب

پاسخ

• الف) حسابی، d=7 و t₂₁=3+20(7)=143.
• ب) حسابی نیست؛ تفاضل‌ها ۱،۲،۴،… ثابت نیستند.
• پ) حسابی، d=√3 و t₂₁=21√3.
• ت) حسابی، d=−3 و t₂₁=10+20(−3)=−50.
• ث) حسابی، d=1/5 و t₂₁=22/5.
• ج) حسابی، d=0 و t₂₁=2.

پاسخ

از جمله سوم تا هفتم ۴ گام وجود دارد:

پاسخ

اگر جمله اول a و قدر نسبت d باشد:

تفریق دو رابطه می‌دهد 3d=12⇒d=4 و سپس a=−3.

پاسخ

هر مرحله ۴ واحد اضافه می‌شود، پس دو جمله بعد ۱۳ و ۱۷ هستند و دنباله حسابی است.

پس ۳۹۷ جمله صدم است.

پاسخ

الف) ۸؛ چون 5,8,11 اختلاف ۳ دارد. ب) ۲۵؛ چون 20,25,30 اختلاف ۵ دارد.

پاسخ تشریحی

پنج جمله را متقارن حول جمله وسط می‌نویسیم:

مجموع آن‌ها ۱۰۰ است، پس 5a=100⇒a=20. شرط مسئله:

این پنج سهم جمعاً ۱۰۰ هستند و شرط مسئله را نیز برقرار می‌کنند.

پاسخ

هر جمله دو برابر قبلی است، پس:

روز دهم: t₁₀=2¹⁰=1024.

روز یازدهم: t₁₁=2¹¹=2048.

برای ۱۶۳۸۴:

پس در روز چهاردهم این مقدار به‌دست می‌آید.

پاسخ

باز هم توان n−1 از تعداد گام‌های بین جمله اول و جمله nام می‌آید.

پاسخ

روش نگار درست است. قدر نسبت همیشه «جمله بعد ÷ جمله قبل» است:

پس:

پاسخ کامل

پاسخ الف

برای سه جمله 3,x,48 باید x/3=48/x باشد؛ بنابراین x²=144 و:

پس واسطه هندسی در اعداد حقیقی لزوماً یکتا نیست.

پاسخ ب

با سه واسطه، ۵ جمله داریم:

برای r=2:

برای r=−2:

پس جواب یکتا نیست.

پاسخ پ

10, ?, 4000: چون r²=400، دو حالت داریم: 10,200,4000 یا 10,−200,4000.

10, ?, ?, 80000: r³=8000⇒r=20، پس 10,200,4000,80000.

4, ?, ?, ?, ?, 972: 4r⁵=972⇒r⁵=243⇒r=3، پس:

پاسخ

• الف) هندسی با r=4.
• ب) هندسی نیست؛ نسبت‌ها ثابت نیستند.
• پ) هندسی با r=−1/2.
• ت) هندسی با r=1.

پاسخ

بی‌نهایت دنباله؛ چون جمله اول می‌تواند هر عدد حقیقی ناصفر باشد. مثلاً:

نادرست

مثال نقض: 1,2,4,7,… نه تفاضل ثابت دارد و نه نسبت ثابت.

نادرست

دنباله ثابت ناصفر مانند 5,5,5,5,… هم حسابی است با d=0 و هم هندسی است با r=1.

پاسخ

کاهش ۲۰٪ یعنی باقی‌ماندن ۸۰٪ قیمت؛ پس r=0.8.

در این مدل، n تعداد سال‌های گذشته از زمان خرید است و مقدار اولیه مربوط به n=0 است.

پاسخ

جمله nام برابر 2ⁿ است؛ پس:

پاسخ

پاسخ

کاهش ۳٪ یعنی هر سال ۹۷٪ سال قبل باقی می‌ماند؛ بنابراین r=0.97.

این مقادیر، با مدل فرض‌شده کتاب، یک دنباله هندسی با قدر نسبت ۰٫۹۷ تشکیل می‌دهند. چون تعداد افراد باید عدد صحیح باشد، مقادیر به نزدیک‌ترین عدد صحیح گرد شده‌اند.