محتوای آموزشی
درس اول: مجموعههای متناهی و نامتناهی
این صفحه قرار نیست فقط «خلاصه» باشد. هدف این است که بعد از مطالعه، بتوانی مجموعههای عددی را درست طبقهبندی کنی، بازهها را بدون اشتباه بخوانی و بنویسی، اجتماع و اشتراک و تفاضل بازهها را بهدست بیاوری و تفاوت واقعی «متناهی» و «نامتناهی» را بفهمی. تمام فعالیتها، کاردرکلاسها و تمرینهای همین درس کتاب نیز با پاسخ تشریحی آمدهاند.
اول بدان قرار است چه چیزی یاد بگیری
اگر این نقشه در ذهنت باشد، جزئیات درس پراکنده نمیشوند.
چهار ستون اصلی درس
- مجموعههای عددی: تشخیص N, W, Z, Q, Q′, R
- بازه: تبدیل بین محور، نامعادله و نماد بازه
- عملیات مجموعهای: اجتماع، اشتراک و تفاضل بازهها
- متناهی/نامتناهی: تشخیص درست حتی در مثالهای فریبنده مثل (0,1)
هدف تسلط
در پایان باید بتوانی بدون حفظکردن کورکورانه، هر عبارت را به این زنجیره وصل کنی:
روش مطالعه پیشنهادی من
هر بخش را بخوان، سپس قبل از بازکردن پاسخِ فعالیت، خودت حداقل یک بار حل کن. اگر جواب اشتباه شد، فقط جواب را حفظ نکن؛ دقیقاً مشخص کن اشتباه از «عضویت»، «کران باز و بسته»، «ترتیب تفاضل» یا «تشخیص متناهی بودن» بوده است.
مجموعههای اعداد؛ هر عدد دقیقاً کجا زندگی میکند؟
پایهی بخش اول درس، تشخیص درست مجموعههای عددی است.
| مجموعه | معنا | نمایش نمونه | نکتهی مفهومی |
|---|---|---|---|
| N | اعداد طبیعی | {1,2,3,4,...} | در کتاب دهم، صفر عضو طبیعی نیست. |
| W | اعداد حسابی | {0,1,2,3,...} | همان طبیعیها بهعلاوه صفر. |
| Z | اعداد صحیح | {...,-2,-1,0,1,2,...} | کسری/اعشاری غیرصحیح در آن نیست. |
| Q | اعداد گویا | m/n , m,n∈Z , n≠0 | هر عددی که بتوان به نسبت دو عدد صحیح نوشت. |
| Q′ | اعداد گنگ | √2 , π , √17 | نمیتوان آن را به نسبت دو عدد صحیح نوشت. |
| R | اعداد حقیقی | R = Q ∪ Q′ | تمام نقاط روی محور اعداد حقیقی. |
چطور سریع طبقهبندی کنیم؟
برای هر عدد، از کوچکترین مجموعه شروع کن. مثلاً عدد -9 طبیعی یا حسابی نیست، ولی صحیح است؛ پس کوچکترین مجموعهای که آن را دربر میگیرد Z است. عدد 2/6 = 1/3 صحیح نیست اما گویاست؛ پس در Q قرار دارد.
نکته کنکوری
وقتی میپرسند «عدد عضو کدام مجموعه است»، ممکن است چند پاسخ درست باشد. مثلاً 5∈N,W,Z,Q,R. اما اگر پرسید «کوچکترین مجموعه»، پاسخ N است.
دام رایج
عدد اعشاری لزوماً گنگ نیست. مثلاً 0.2 = 1/5 گویاست؛ عدد اعشاری پایانپذیر یا دورهای، گویا است.
کار در کلاس صفحه ۲ کتاب - سؤال ۱ (با پاسخ کامل)
ب) دو عدد گویای مثال بزنید که عدد صحیح نباشند و آنها را در محل مناسب بنویسید.
پ) اعداد √17, 0, 200, π/2, 2/6, 2√5, −25/3, −9 را در مجموعه مناسب قرار دهید.
ت) مجموعه اعداد صحیحِ غیرحسابی را با نمایش اعضا بنویسید: Z − W.
ث) مجموعه W − N چند عضو دارد؟
پاسخ تشریحی
الف) R − Q = Q′، یعنی مجموعه اعداد گنگ. دو نمونه: √2 و π.
ب) مثلاً 1/2 و −3/4. هر دو گویا هستند اما صحیح نیستند.
پ)
- √17: گنگ Q′
- 0: حسابی W (و در نتیجه Z,Q,R)
- 200: طبیعی N
- π/2: گنگ؛ تقسیم π بر عدد گویای ناصفر همچنان گنگ است.
- 2/6 = 1/3: گویا Q و غیرصحیح
- 2√5: گنگ
- −25/3: گویا و غیرصحیح
- −9: صحیح Z
ت) Z − W = {...,−3,−2,−1}؛ یعنی همه اعداد صحیح منفی.
ث) چون W = {0,1,2,...} و N = {1,2,3,...}، داریم W − N = {0}. پس دقیقاً ۱ عضو دارد.
بازهها؛ از محور به نماد و از نماد به نامعادله
بازه یک زیرمجموعه از اعداد حقیقی است که یک قسمت پیوسته از محور را نشان میدهد.
بازه بسته
[a,b]
هر دو کران عضو بازهاند:
a ≤ x ≤ b
بازه باز
(a,b)
هیچکدام از کرانها عضو بازه نیست:
a < x < b
نیمباز
[a,b)
چپ عضو است، راست عضو نیست:
a ≤ x < b
نیمباز
(a,b]
چپ عضو نیست، راست عضو است:
a < x ≤ b
سه نکتهای که باید واقعاً بفهمی
- دایره توخالی روی محور یعنی آن نقطه عضو نیست → پرانتز.
- دایره پر یعنی آن نقطه عضو است → کروشه.
- طول هر بازه بین دو عدد حقیقی a<b برابر b−a است؛ باز یا بسته بودن طول را عوض نمیکند.
چرا نمیتوان اعضای یک بازه را فهرست کرد؟
مثلاً بازه [-2,1] فقط چند عدد «مشهور» مثل -2,-1,0,1 ندارد؛ بین هر دو عدد حقیقی، عدد حقیقی دیگری وجود دارد. بنابراین تعداد نقاط بازه بینهایت است و چیزی به نام «اولین عدد حقیقی بعد از −2» وجود ندارد.
توضیح عمیقتر
اگر کسی بگوید اولین عدد بعد از −2 برابر c است، عدد میانگین (−2+c)/2 بین آن دو قرار میگیرد؛ پس c نمیتواند «اولین» باشد.
آزمایشگاه بازه - خودت امتحان کن
فعالیت صفحه ۳ - تکمیل جدول بازهها + سؤال اعداد روی محور
پاسخ جدول
| نمایش مجموعهای | بازه | نوع |
|---|---|---|
| {x∈R | a<x<b} | (a,b) | باز |
| {x∈R | a≤x≤b} | [a,b] | بسته |
| {x∈R | a≤x<b} | [a,b) | نیمباز |
| {x∈R | a<x≤b} | (a,b] | نیمباز |
| {x∈R | 1<x≤5} | (1,5] | نیمباز |
| {x∈R | −3≤x<2} | [−3,2) | نیمباز |
پاسخ
- −4.9 نزدیک −5 و بین −5 و −4.
- −7/2 = −3.5 دقیقاً وسط −4 و −3.
- −√2 ≈ −1.414 بین −2 و −1.
- 2.45 بین 2 و 3.
- π≈3.14 کمی بعد از 3.
- 6 دقیقاً روی 6.
اعداد گنگ: π و −√2. چهار عدد دیگر گویا هستند.
بازههای نامتناهی + اجتماع و اشتراک
اینجا دو دام اصلی داریم: علامت بینهایت و تشخیص ناحیه مشترک.
قانون طلایی بینهایت
+∞ و −∞ عدد حقیقی نیستند؛ پس «عضو بازه» نمیشوند. بنابراین کنار بینهایت همیشه پرانتز میآید، نه کروشه.
بزرگتر از a
x>a
(a,+∞)
بزرگتر یا مساوی a
x≥a
[a,+∞)
کوچکتر از a
x<a
(−∞,a)
کوچکتر یا مساوی a
x≤a
(−∞,a]
تمام حقیقیها
R
(−∞,+∞)
مثال
x≥3
[3,+∞)
اجتماع و اشتراک را «روی محور» ببین
اجتماع A∪B
هر نقطهای که در حداقل یکی از دو مجموعه باشد. روی محور یعنی کل ناحیههایی که توسط یکی از دو بازه پوشانده شدهاند.
اشتراک A∩B
فقط نقطههایی که همزمان در هر دو مجموعه باشند. روی محور یعنی بخش همپوشان دو بازه.
مثال خود کتاب
A=(−1,4] و B=(2,+∞).
چرا 2∉A∩B؟ چون با اینکه 2 در A است، در B نیست؛ B از «بزرگتر از 2» شروع میشود، نه «بزرگتر یا مساوی 2».
فعالیت صفحه ۴ - جدول بازههای نامتناهی
پاسخ کامل
| نمایش مجموعهای | بازه | نوع |
|---|---|---|
| {x∈R | x>a} | (a,+∞) | باز |
| {x∈R | x≥a} | [a,+∞) | نیمباز |
| {x∈R | x≤a} | (−∞,a] | نیمباز |
| {x∈R | x<a} | (−∞,a) | باز |
| R | (−∞,+∞) | باز |
| {x∈R | x≥3} | [3,+∞) | نیمباز |
| {x∈R | x<5} | (−∞,5) | باز |
کار در کلاس صفحه ۵؛ بازهها و عملیات
این بخش را بدون دیدن پاسخ حل کن؛ بعد پاسخ را باز کن.
سؤال ۱ - درستی یا نادرستی ۱۰ عبارت
- الف) 4/3 ∈ [1/2,2)
- ب) −2 ∈ (−2,0]
- پ) 0 ∈ (−2,0]
- ت) −2 ∈ {−2,0}
- ث) −1 ∈ {−2,0}
- ج) [−1,2] ⊆ (−1,2)
- چ) {0,1} ⊆ [−1,2)
- ح) ∅ ⊆ (−17,0]
- خ) [2,5) = (2,5]
- د) √2 ∈ (0,1)
پاسخ با دلیل
| بخش | نتیجه | دلیل |
|---|---|---|
| الف | درست | 0.5≤4/3<2. |
| ب | نادرست | کران −2 در بازه باز است و عضو نیست. |
| پ | درست | کران 0 بسته است؛ پس عضو است. |
| ت | درست | −2 صریحاً یکی از دو عضو مجموعه است. |
| ث | نادرست | اعضای مجموعه فقط −2 و 0 هستند. |
| ج | نادرست | −1 و 2 در مجموعه چپ هستند، ولی در بازه باز راست نیستند. |
| چ | درست | هم 0 و هم 1 داخل [−1,2) هستند. |
| ح | درست | مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعهای است. |
| خ | نادرست | در اولی 2 عضو و 5 غیرعضو است؛ در دومی برعکس. |
| د | نادرست | √2≈1.414>1. |
سؤال ۲ - وصلکردن عددها به بازههای مربوط
پاسخ
- −2 → فقط [−2,0). در (−2,3) نیست چون −2 حذف شده است.
- √3≈1.732 → [1,4] و (−2,3).
- −500 → (−∞,−4).
- −5/4=−1.25 → [−2,0) و (−2,3).
- 6.022×10²³ → [3,+∞).
- 0.2 → (−1/2,1/2] و (−2,3).
سؤال ۳ - دو بازه A و B و چهار عمل مجموعهای
پاسخ
چرا در A−B عدد −1 باقی میماند؟ چون B در −1 باز است و −1 عضو B نیست؛ اما −1 عضو A است. چرا در B−A عدد 2 حذف میشود؟ چون 2 عضو A است.
مجموعه متناهی و نامتناهی؛ معنی واقعی چیست؟
بزرگ بودن یک مجموعه با نامتناهی بودن آن یکی نیست.
متناهی
اگر تعداد اعضای مجموعه یک عدد حسابی مشخص باشد، مجموعه متناهی است.
مثال: {1,2,3} سه عضو دارد.
نامتناهی
اگر تعداد اعضا با هیچ عدد حسابی پایانپذیر بیان نشود و همواره عضوهای بیشتری وجود داشته باشد، مجموعه نامتناهی است.
مثال: N={1,2,3,...}.
دام بسیار مهم
خیلی زیاد ≠ نامتناهی. یک مول آب حدود 6.022×10²³ مولکول دارد؛ عددی فوقالعاده بزرگ، اما هنوز یک عدد مشخص است، پس مجموعه مولکولهای «یک مول مشخص آب» متناهی است.
دام دوم
محدود بودن روی محور ≠ متناهی بودن. بازه (0,1) بین دو عدد محدود شده، اما بینهایت عدد حقیقی در آن وجود دارد؛ پس نامتناهی است.
فعالیت صفحه ۵ - اعداد طبیعی کمتر از ۴ و اعداد صحیح کمتر از ۴
الف) دو مجموعه را با نمایش اعضا مشخص کنید. ب) A چند عضو دارد؟ پ) درباره تعداد اعضای B چه میتوان گفت؟
پاسخ
A={1,2,3} و بنابراین n(A)=3؛ پس A متناهی است.
B={...,−3,−2,−1,0,1,2,3}. چون در سمت اعداد منفی پایان ندارد، B نامتناهی است.
کار در کلاس صفحه ۶ - سؤال ۱: تشخیص ۱۲ مجموعه
پاسخ کامل
| مجموعه | وضعیت | تعداد / دلیل |
|---|---|---|
| اعداد اول یکرقمی | متناهی | {2,3,5,7} → ۴ عضو |
| انسانهای روی زمین | متناهی | در هر لحظه تعداد مشخص و محدود دارد؛ مقدار دقیق با زمان تغییر میکند. |
| اعداد طبیعی فرد | نامتناهی | {1,3,5,7,...} پایان ندارد. |
| سلولهای عصبی مغز یک انسان | متناهی | تعداد بسیار بزرگ ولی محدود؛ برآورد رایج برای نورونها حدود ۸۶ میلیارد است. |
| تمام دایرههای به مرکز مبدأ مختصات | نامتناهی | برای هر شعاع مثبت حقیقی، یک دایره متفاوت داریم. |
| دانشآموزان مدرسه شما | متناهی | تعداد دقیق وابسته به مدرسه است. |
| اعداد طبیعی دهرقمی | متناهی | از 10⁹ تا 10¹⁰−1؛ دقیقاً 9×10⁹ عدد. |
| درختهای جنگلهای آمازون | متناهی | طبق دادهی خود کتاب حدود 390,000,000,000 اصله. |
| کسرهای مثبت با صورت ۱ | نامتناهی | 1,1/2,1/3,1/4,... |
| مضربهای طبیعی ۱۰ | نامتناهی | 10,20,30,... |
| بازه (0,1) | نامتناهی | بین 0 و 1 بینهایت عدد حقیقی وجود دارد. |
| مولکولهای موجود در یک مول مشخص آب | متناهی | 6.022×10²³ مولکول. |
کار در کلاس صفحه ۶ - سؤالهای ۲، ۳ و ۴
۳) دو مجموعه نامتناهی مثال بزنید که یکی زیرمجموعه دیگری باشد.
۴) دو مجموعه نامتناهی A و B مثال بزنید که A⊆B و B−A تکعضوی باشد.
پاسخهای نمونه
۲) {1,2,3} و مجموعه روزهای هفته.
۳) N⊆W؛ هر دو نامتناهیاند.
۴) بگذارید B=N و A=N−{1}={2,3,4,...}. هر دو نامتناهیاند، A⊆B و B−A={1} تکعضوی است.
چرا بین ۰ و ۱ بینهایت عدد گویا وجود دارد؟
این فعالیت قلب مفهومی بخش «نامتناهی» است.
عدد 1/3 بین 0 و 1 است. میتوانیم بینهایت نمونه دیگر بسازیم: 1/2, 1/4, 2/3, 3/4, .... دلیل عمیقتر این است که بین هر دو عدد گویای متفاوت a<b، میانگین آنها (a+b)/2 نیز یک عدد گویا و دقیقاً بین آن دو است. این فرایند را میتوان بدون پایان تکرار کرد.
فعالیت صفحه ۷ - پنج بخش
ب) آیا میتوان بین ۰ و ۱ به هر تعداد دلخواه عدد گویا ارائه کرد؟
پ) درباره متناهی یا نامتناهی بودن اعداد گویای موجود در (0,1) چه نتیجهای میگیرید؟
ت) درباره متناهی یا نامتناهی بودن Q چه میتوان گفت؟
ث) اگر A دارای یک زیرمجموعه نامتناهی باشد، آنگاه A یک مجموعه .... خواهد بود.
پاسخ
الف) مثلاً 1/2, 1/4, 2/3, 3/4.
ب) بله؛ هر تعداد بخواهیم میتوانیم عدد گویای جدید پیدا کنیم.
پ) مجموعه اعداد گویای داخل (0,1) نامتناهی است.
ت) خود Q نامتناهی است.
ث) اگر A زیرمجموعهای نامتناهی داشته باشد، خود A حتماً نامتناهی است؛ چون یک مجموعه متناهی نمیتواند زیرمجموعه نامتناهی داشته باشد.
تمرینهای پایان درس - پاسخ تشریحی
تمرین ۱ - مضربهای طبیعی ۵ و زیرمجموعهها
الف) U را با نمایش اعضا بنویسید. ب) U متناهی است یا نامتناهی؟ پ) یک زیرمجموعه متناهی از U بنویسید. ت) دو زیرمجموعه نامتناهی C و D از U بنویسید بهطوریکه C⊆D.
پاسخ
الف) U={5,10,15,20,...}.
ب) نامتناهی.
پ) مثلاً {5,10,15}.
ت) مثلاً D=U و C={10,20,30,...}. در این صورت C مجموعه مضربهای طبیعی ۱۰ است و C⊆D.
تمرین ۲ - متناهی یا نامتناهی؟
الف) مجموعه اعداد طبیعی. ب) مجموعه شمارندههای طبیعی عدد ۳۶. پ) بازه (1/4,1/2). ت) A={x∈N | 1<x<2}. ث) مجموعه مضربهای طبیعی عدد ۱۰۰.
پاسخ
الف) N نامتناهی است.
ب) متناهی؛ شمارندههای طبیعی ۳۶ عبارتاند از {1,2,3,4,6,9,12,18,36}، یعنی ۹ عضو.
پ) نامتناهی؛ هر بازه غیرتهی از اعداد حقیقی بینهایت عضو دارد.
ت) هیچ عدد طبیعیای بهطور سخت بین 1 و 2 نیست، پس A=∅ و متناهی با ۰ عضو است.
ث) {100,200,300,...} نامتناهی است.
تمرین ۳ - دو مجموعه نامتناهی با اشتراک متناهی
پاسخ نمونه
مجموعه اعداد طبیعی زوج و مجموعه اعداد طبیعی فرد هر دو نامتناهیاند و اشتراکشان تهی است: E∩O=∅. مجموعه تهی متناهی است.
تمرین ۴ - حاصل عملیات بازهای
الف) (−3,0) ∪ (−2,5]
ب) (−∞,6] ∩ (1,9)
پ) (3,+∞) ∩ (6,10]
ت) (−∞,1) ∪ [1,+∞)
ث) (3,+∞) − [2,4)
ج) [2,4) − (3,+∞).
پاسخ
| بخش | نتیجه | دلیل کوتاه |
|---|---|---|
| الف | (−3,5] | دو بازه همپوشانی دارند و کل ناحیه از −3 تا 5 پوشیده میشود. |
| ب | (1,6] | قسمت مشترک؛ 1 حذف و 6 حفظ میشود. |
| پ | (6,10] | برای اشتراک باید هم >3 و هم >6 باشد؛ شرط قویتر >6 است. |
| ت | R | همه اعداد کمتر از1 بهعلاوه خود1 و همه بزرگترها. |
| ث | [4,+∞) | از بازه >3، قسمت [2,4) حذف میشود؛ 4 حذف نمیشود چون عضو [2,4) نیست. |
| ج | [2,3] | از [2,4) تمام اعداد >3 حذف میشوند؛ خود 3 باقی میماند. |
تمرین ۵ - مجموعه R − {3}
پاسخ
همه اعداد حقیقی بهجز 3؛ بنابراین در نقطه 3 یک سوراخ داریم:
تمرین ۶ - زیرمجموعه یک مجموعه متناهی
پاسخ
A حتماً متناهی است. چون اعضای A از داخل B انتخاب شدهاند و B فقط تعداد محدودی عضو دارد؛ زیرمجموعهی یک مجموعه متناهی نمیتواند اعضای بیشتری از آن داشته باشد.
دامها و راهبردهای سریع حل
اینها نکات تکمیلی آموزشی 20درس هستند، نه متن مستقیم کتاب.
۱) کران را قبل از هر کاری چک کن
(a,b] یعنی a حذف و b حفظ. یک نقطه میتواند کل جواب تست را عوض کند.
۲) بینهایت کروشه نمیگیرد
[2,+∞) درست است، ولی نوشتن کروشه کنار +∞ غلط است.
۳) تفاضل جهت دارد
A−B با B−A معمولاً فرق دارد؛ اول مجموعه سمت چپ را نگه دار، سپس اعضای سمت راست را حذف کن.
۴) بزرگ بودن ≠ نامتناهی
6.022×10²³ بزرگ است، ولی متناهی.
۵) کوتاه بودن بازه ≠ متناهی
حتی (0,0.000001) هم بینهایت عدد حقیقی دارد.
۶) زیرمجموعه متناهی
اگر B متناهی و A⊆B باشد، A قطعاً متناهی است.
نوبت تو - قبل از دیدن آزمون، این سه سؤال را روی کاغذ حل کن
- حاصل [−2,4) ∩ (1,6] چیست؟
- آیا مجموعه {1/n | n∈N} متناهی است؟ چرا؟
- اگر A=(−∞,3] و B=(3,+∞) باشد، A∪B چیست؟
پاسخ سه سؤال
۱) (1,4). ۲) نامتناهی؛ برای هر n طبیعی یک عضو داریم و n پایان ندارد. ۳) R؛ چون 3 در A است و همه اعداد بزرگتر از 3 در B، بقیه هم در A.
آزمون پایان درس - ۱۰ سؤال
سؤالها تألیفیاند و برای تثبیت مفاهیم همین درس طراحی شدهاند.
برگه مرور ۲ دقیقهای
اگر فردا فقط این بخش را ببینی، باید ساختار درس دوباره یادت بیاید.
مجموعههای عددی
N⊆W⊆Z⊆Q⊆R و R=Q∪Q′.
بازه
کروشه = کران عضو؛ پرانتز = کران غیرعضو. کنار ±∞ همیشه پرانتز.
عملیات
اجتماع = همه پوششها؛ اشتراک = قسمت مشترک؛ تفاضل = از مجموعه اول، اعضای دوم را حذف کن.
متناهی
تعداد اعضا یک عدد مشخص است؛ حتی اگر آن عدد بسیار بسیار بزرگ باشد.
نامتناهی
مثل N یا هر بازه غیرتهی حقیقی؛ محدود بودن طول بازه، تعداد نقاط را محدود نمیکند.
قانون زیرمجموعه
اگر B متناهی و A⊆B، آنگاه A متناهی است. اگر A یک زیرمجموعه نامتناهی داشته باشد، A نامتناهی است.
چکلیست تسلط من
سؤالهای پرتکرار مفهومی
آیا صفر طبیعی است؟
در قرارداد همین کتاب ریاضی دهم، N={1,2,3,...} و صفر در W است. در منابع دیگر ممکن است قرارداد متفاوت باشد؛ در آزمون مدرسه و این درس، قرارداد کتاب ملاک است.
چرا یک بازه خیلی کوچک باز هم نامتناهی است؟
چون بین هر دو عدد حقیقی متمایز، عدد حقیقی دیگری وجود دارد؛ پس هیچ فاصله غیرصفر حقیقی به تعداد محدود نقطه ختم نمیشود.
آیا ∞ یک عدد است؟
در این درس خیر. ±∞ نماد جهتِ بدون کران است و عضو R محسوب نمیشود.
فرق «∈» و «⊆» چیست؟
x∈A یعنی x یک عضوِ A است. B⊆A یعنی هر عضو B در A هم وجود دارد؛ B یک مجموعه است، نه یک عضو معمولی.